Ensembles finis Exemples

$s = x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 y - 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 y - 4 = s$ .

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 y - 4 = s$

Étape 2

Soustrayez $s$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 10 y - 4 - s = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = y^{2} + 10 y - 4 - s$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 10 y - 4 - s))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 10 y - 4 - s)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (y^{2} + 10 y - 4 - s)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 y^{2} - 4 (10 y) - 4 \cdot - 4 - 4 (- s)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $10$ par $- 4$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 y^{2} - 40 y - 4 \cdot - 4 - 4 (- s)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 y^{2} - 40 y + 16 - 4 (- s)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 y^{2} - 40 y + 16 + 4 s}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Additionnez $64$ et $16$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 40 y + 80 + 4 s}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2} - 40 y + 80 + 4 s$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 40 y + 80 + 4 s}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 40 y$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 10 y) + 80 + 4 s}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 10 y) + 4 \cdot 20 + 4 s}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2}) + 4 (- 10 y)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 10 y) + 4 \cdot 20 + 4 s}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2} - 10 y) + 4 \cdot 20$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 10 y + 20) + 4 s}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2} - 10 y + 20) + 4 s$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 10 y + 20 + s)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (- y^{2} - 10 y + 20 + s)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 10 y + 20 + s}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 10 y + 20 + s}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 10 y + 20 + s}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{- y^{2} - 10 y + 20 + s}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4 + \sqrt{- y^{2} - 10 y + 20 + s}$

$x = 4 - \sqrt{- y^{2} - 10 y + 20 + s}$